DESA d'Algèbre Commutative et Aspect Homologique

Responsable: Pr. Najib Mahdou

(2003-2005)

 

Objectif de la formation

 

L’objectif de cette formation est d’élaborer une base solide dans l’algèbre commutative et l’algèbre homologique et leurs applications. Ce développement permettra aux chercheurs d’avoir accès aux différentes méthodes et techniques étudiées ces trois dernières décennies.

Rappelons, à cet égard, que c’est avec E. Nother que l’algèbre commutative a pris cette allure moderne en bénéficiant de la théorie des ensembles. En effet, Noether, dans ses travaux sur la théorie des idéaux, traça le chemin pour différentes branches en mathématiques ; citons, e.g., groupes et anneaux réticulés, semi-groupes, filtrations d’idéaux et modules, modules au sens de Cohen-Macaulay, topologie spectrale, etc.

Du côté appliqué, le calcul formel devient le centre d’investigation des experts comme étant l’interaction harmonieuse des techniques d’algèbre commutative.

Ce programme s’adresse aux futurs chercheurs désirant poursuivre ou approfondire leur connaissance en algèbre commutative, algèbre homologique, géométrie algébrique, et calcul formel.

 

Organisation

 

Le DESA d’ « Algèbre Commutative et Aspect Homologique » (ACAH) est composé de 11 cours et d’un travail de fin d’études répartis sur deux années. Chaque cours sera partagé en cours magistral, groupe de travail, et exposés. Le travail de fin d’études, réalisé sous forme d’un stage d’initiation à la recherche sous la direction d’un membre de l’UFR ACAH, sera sanctionné par la présentation d’un mémoire.

La liste des cours est la suivante :

  1. Introduction à l’algèbre commutative (Pr. Abdeslam Mimouni)
  2. Algèbre homologique (Pr. Najib Mahdou)
  3. Le language Matlab (Pr. Ahmed Elhilali Alaoui)
  4. Introduction aux bases de Gröbner (Pr. Lahoucine Izelgue)
  5. Théorie des anneaux commutatifs (Pr. Samir Bouchiba)
  6. Introduction à la Géométrie algèbrique (Pr. Said ElBaghdadi)
  7. K-Théorie algèbrique (Pr. Mohamed Elhasani Charkani)
  8. Théorie multiplicative des idéaux (Pr. Abdeslam Mimouni)
  9. Aspect homologique des anneaux commutatifs (Pr. Najib Mahdou)
  10. Groupe des classes de certains anneaux intégres (Pr. Driss Nourelabidine)
  11. Spectre et Théories de la dimension dans les anneaux de polynômes et de series formelles (Pr. Mohamed Khalis)

 

Programme des cours


Introduction à l'algèbre commutative
Pr. Abdeslam Mimouni

Objectifs :

Le but de ce cours est de fournir une introduction à la théorie d’algèbre commutative. Le cours centré sur certains sujets fondamentaux donnant –par la suite- l’accés aux nouvelles tendances et développements récents en algèbre commutative. Plus d’intérêt sera porté aux modules, localisations et utilisation des méthodes élémentaires d’algèbre homologique.

Contenu :

Anneaux et idéaux ; Extensions et contractions ; Anneaux et modules des fractions ; Théorèmes de décomposition primaire ; Indépendance, intégrale et valuations ; Théorèmes de going-up et going-down ; Conditions de chaînes, anneaux Noetheriens et anneaux artiniens ; Valuations discrètes et anneaux de Dedekind ; Topologie et complétions ; Filtration et anneaux gradués ; Fonctions de Hilbert ; Théorie de la dimension.

Références :

  1. M.F. Atiyah and I.G. Macdonald, Introduction to commutative algebra, Addison-Wesley Publishing co., (1969).
  2. I. Kaplansky, Commutative rings, Revised edition, The University of Chicago Press, (1974).
  3. J.J. Rotman, An introduction to homological algebra, Academic Press, (1979).

Algèbre homologique
Pr. Najib Mahdou

Objectifs :

L’algèbre homologique a des applications dans plusieurs domaines mathématiques, notamment en géométrie différentielle, géométrie algébrique, topologie algébrique, K-théorie, et analyse. Les foncteurs Ext, Tor et les suites spectrales forment le language de l’algèbre homologique. Dans ce cours, on commence par présenter la théorie des modules projectifs, injectifs et plats sur un anneau commutatif unitaire. A partir de ces modules spéciaux, via la théorie des résolutions, on définit les foncteurs Ext et Tor. Ensuite on se penche sur l’étude de la théorie des dimensions homologiques. Enfin une étude des suites spectrales sera exposée.

Contenu :

Modules libres, projectifs et injectifs, Limite directe, Théorème de Watts ; Modules plats et localisation ; Anneaux Noetheriens et coherents ; Anneaux semi-simples, réguliers au sens de Von Neumann, héréditaires et semi-héréditaires ; Foncteurs d’homologie ; Foncteurs dérivés ; Foncteur Ext ; Foncteur Tor ; Les dimensions homologiques ; Théorèmes de Hilbert-Syzygy ; Les suites spectrales.

Références :

  1. M .Scott Osborne, Basic homological algebra, Graduate Texts in Mathematics 196, Springer-Verlag, New York-Berlin, (2000).
  2. P .J. Hilton and U. Stammbach, A course in homological algebra, Graduate Texts in Mathematics 4, Second Edition, Springer-Verlag, New York- Berlin, (1977).
  3. J.J. Rotman, An introduction to homological algebra, Academic Press, (1979).

Language Matlab
Pr. Ahmed Elhilali Alaoui

Contenu :

Présentation, Généralité et boites à outils, Tableau, Opérateurs, Langage et fichiers, Opérateurs arithmétiques et fonctions élémentaires, Opérateurs et fonction logique, Construire une interface, Notion complémentaire sur la version 5.

Introduction aux bases de Gröbner
Pr. Lahoucine Izelgue

Objectifs :

L’objectif central de la théorie des bases de Gröbner est l’algorithme de Buchberger qui donne, en particulier, une généralisation de l’algorithme d’Euclide et celui d’élimination de Gauss à l’anneau des polynômes à plusieurs indéterminées. L’objectif de ce cours est de présenter les outils théoriques indispensables pour une étude élaborée des bases de Gröbner. Quelques applications, notamment en algèbre, en transmission de données et en géométrie algébrique, montreront, en cas du besoin, l’intérêt de ces bases.

Contenu  :

Introduction, Ordre des monômes dans K[X 1,…,X n], L’algorithme de division dans l’ideal des monômes et Lemme de Dickson, Le théorème de la base de Hilbert, Propriétés de la base de Gröbner, L’algorithme de Buchberger,Variations des bases de Gröbner, Applications.

Références :

  1. Ralf Fröberg. An Introduction to Gröbner Bases. John Wiley &Sons 1997.
  2. David Cox, John Little, Donaldo'Shea. Ideals, Varieties and Algorithms. An introduction to Computational Algebraic Geometry and Commutative Algebra. Springer-Verlag, 1992.
  3. David Eisenbud. Commutative Algebra with a View Towards Algebraic Geometry. Springer-Verlag, 1995.
  4. Wolmer V. Vasconcelos. Computational Methods in Commutative Algebra and Algebraic Geometry.Springer-Verlag, 1998.

Théorie des anneaux commutatifs
Pr. Samir Bouchiba

Objectifs :

Le but de ce cours est d’explorer la théorie des anneaux commutatifs. Les techniques exposées ainsi que les outils utilisés permettent d’acquérir un baguage solide et fondamental en algèbre commutative.

Contenu :

Idéaux premiers et parties multiplicatives ; Annnneaux de Hilbert et Nullstellensatz ; Localisation et idéaux premiers dans les annnnneaux de polynômes ; Extensions entières ; Hauteur d’un idéal premier et dimension de Krull d’un anneau ; GCD-domaines ; Anneaux de valuations et anneaux de Prüfer ; Anneaux Noetheriens et théorème de base de Krull et anneaux de Dedekind ; Suites régulieres et grade d’un idéal ; Anneaux de Cohen-Macaulay ; Anneaux réguliers ; Homologie ; Caractéristique d’Euler ; dimension injective ; Anneaux de Gorenstein.

Références :

  1. I. Kaplansky, Commutative rings, Revised edition, The University of Chicago Press, (1974).
  2. S. Chapman and S. Glaz, Non Noetherien Commutative ring theory, Mathematics and its Applications, 520. Kluwer Academic Publishers, (2000).
  3. H. Matsumura, Commutative ring theory, Cambridge Univ. Press. Cambridge, (1986).

Introduction à la Géométrie Algèbrique
Pr. Said ElBaghdadi

Objectifs :

La Géométrie Algébrique est parmi les domaines de Mathématique où la recherche est très active et d'actualité, vu ses applications dans divers domaines. L'objectif de ce cours est de permettre un premier contact avec ce vaste domaine qui est resté pendant longtemps un domaine difficile à aborder pour les jeunes chercheurs. Ce cours a un double objectif: premièrement donner un cours complet pour le publique de troisième cycle et deuxièmement ouvrir le champs de recherche dans ce domaine.

Contenu :

Ensembles algébriques, Variétés algébriques affines, Variétés projectives, Variétés algébriques, Morphismes, Dimension, Singularités, Etude des courbes algébriques.

Références :

  1. P. Perrin, Géométrie Algébrique, Une introduction, InterEdition, Paris (1995).
  2. I.R. Shafarevich, Basic Algebraic Geometry I, 2eme édition, Springer Verlag (1994).
  3. E. Kunz, Introduction to Commutative Algebra and Algebraic Geometry, Birkhauser, (1985).
  4. R. Hartshorne, Algebraic Geometry, Springer Verlag, (1977).
  5. J. Harris, Algebraic Geometry, A first course, Springer Verlag, (1992).

K-Théorie Algèbrique
Pr. Mohamed ElHassani Charkani

Objectifs :

La K-Théorie algèbrique est la branche de l’algèbre traitant l’algèbre linéaire sur un anneau. En associant à tout anneau R une suite de groupes abéliens K i (R), elle se comporte comme une théorie homologique et joue un rôle important dans plusieurs domaines de mathématiques : la théorie des nombres, la topologie algébrique et la géométrie algébrique. L’objectif de ce cours est de donné les fondements de cette théorie.

Contenu :

Symetrisation d’un monoïde, K 0 d’un anneau R, Propriétés universelles de K 0 , K 1 d’un anneau R, Invariance de Morita, Suite caractéristique, Idéaux de Fitting, Fonctorialité de K 0 .

Références :

  1. J. Rosenberg, Algebraic K-Theory and its applications, GMT 147 Springer Verlag, Berlin, New York, (1998).
  2. J. Milnor, Introduction to Algebraic K-Theory, Annales of Mathematics Studies, Number 72 (1971).
  3. J.R. Silvester, Introduction to Algebraic K-Theory, London and New York, Chapman and Hall (1981).

Théorie Multiplicative des Idéaux
Pr. Abdeslam Mimouni

Objectifs :

L’arithmétique des idéaux et la structure des extensions d’anneaux ont un rôle centrale dans la théorie des anneaux de Prüfer. Ces anneaux apparaissent naturellement dans la géométrie algébrique et la théorie des idéaux. Ce cours permettera de donner une image cohésive de la recherche et des techniques utilisées dans l’étude des domaines de Prüfer ; et de donner quelques applications en informatique telles que la résolution des problèmes qui ont pour but de détérminer le nombre de générateurs d’un idéal de type fini via les bases de Gröbner.

Contenu :

Introduction aux domaines de Prüfer ; Généralités sur les produits fibrés et les anneaux de Prüfer ; Nombre de générateurs d’un idéal de type fini d’un anneau de Prüfer ; Résultats de Heitmann et exemples de Scuthing ; Quand est ce que le dual d’un idéal d’un anneau de Prüfer est un anneau ?; Le transformé de Nagata et le transformé de Kaplansky d’un idéal ; La notion de divisibilité dans les anneaux de Prüfer ; les propriétés de trace ; les anneaux de Dedekind généralisés ; les anneaux de polynômes et les domaines dont la fermeture intégrale est un anneau de Prüfer ; Les propriétés de stabilités (au sens de Lipman, Sally-Vasconcelos, Eakin-Sattaye) ; Exemples et contre-exemples.

Références :

  1. M. Fontana, J.A. Huckaba and I.J. Papick, Prüfer domains, Monographs and Text books in Pure and Applied Mathematics, Vol.203, Marcel Dekker, Nnnew York, (1997).
  2. R. Gilmer, Multiplicative ideal theory, Marcel Dakker, New York, (1972).
  3. H. Matsumura, Commutative ring theory, Cambridge Univ. Press. Cambridge, (1986).

Aspect Homologique des Anneaux Commutatifs
Pr. Najib Mahdou

Objectifs :

Ce cours est une étude approfondie d’un certain nombre de classes d’anneaux définies par des conditions homologiques. Il permettera aux étudiants d’aborder quelques problèmes ouverts et récents dans la théorie homologique des anneaux commutatifs.

Contenu :

Anneaux coherents et n-coherents ; Dimensions homologiques sur un anneau coherent ; Quand D+M est un anneau coherent ?; Les deux conjectures de Costa ; Produits fibrés et la première conjecture de Costa ; Extension triviale et les deux conjectures de Costa ; La (n,d)-Krull propriété ; Quelques anneaux définis par des conditions homologiques ; Anneaux de conducteur fini, Anneaux de Gauss ; Contrôle des diviseurs de zero d’un anneau commutatif ; Exemples et contre exemples.

Références :

  1. S. Glaz, Commutative coherent rings, Lecture Notes in Mathematics, Vol.1371, Springer Verlag, Berlin, (1989).
  2. D.E. Dobbs, M. Fontana and S. Kabbaj, Advances in commutative ring theory, Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics, Vol. 205, Dekker, (1999).
  3. S. Chapman and S. Glaz, Non Noetherien Commutative ring theory, Mathematics and its Applications, 520. Kluwer Academic Publishers, (2000).
  4. M. Fontana, S. Kabbaj and S. Wiegand, Commutative ring theory and applications, Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics, Vol. 231, Dekker, (2003).

Groupe des classes de certains anneaux intégres
Pr. Driss Nourelabidine

Objectifs :

L’étude de la notion de groupe des classes dans le cas d’un anneau de Krull est liée à la notion de factorialité des anneaux. Elle occupe une place importante en algèbre commutative grâce à ses applications à la théorie des nombres et à la géométrie algébrique.
L’objectif de ce cours est l’étude de la notion de groupe des classes des anneaux non nécessairement de Krull, cela va permettre une classification d’anneaux plus ‘pathologique’ qui sont ni de Krull ni Noetheriens. Cette nouvelle notion trouve un champ d’applications dans la classe des anneaux PVMD.

Contenu:

Rappel sur les classes d’anneaux non nécessairement Noethériens ; Groupe des classes d’un anneau de Krull ; Star-opération ; Groupe des classes d’un anneau intègre ; Théorème de Nagata généralisé ; Notion de v-cohérence ; Groupe des classes d’un produit fibré ; Transfert de certaines propriétés classiques au produit fibré.

Références :

  1. D.D. Anderson and D.F. Anderson, Some remarks on star operations and the class group, J. Pure Appl. Algebra 51 (1988), 27-33.
  2. D.D. Anderson and A. Ryckaert, The class group of D+M, J. Pure Appl. Algebra 52 (1988), 199-212.
  3. D.F. Anderson, A general theory of class group, Comm. Algebra 16 (1988), 805-847.
  4. A. Bouvier, Le groupe des classes d’un anneau intègre, 107 ème Congrès National des Sociétés Savantes, Brest, fasc.IV (1982), 85-92.
  5. A. Bouvier and M. Zafrullah, On some class group of an integral domain, Bull. Soc. Math. Grèce 29 (1988), 45-59.

Spectre et Théories de la dimension dans les anneaux de polynômes et de series formelles

Pr. Mohamed Khalis

Objectifs :

Ce cours doit permettre aux étudiants de consolider et d’approfondir leurs connaissances, et de les initier à la recherche en Algèbre Commutative, à travers des approches et des applications dans des domaines tels que les anneaux de polynômes et de séries formelles.

Contenu :

Dimension de Krull – Dimension des aneaux de polynômes – Dimension valuative – Produits fibrés – Les S.domaines de Kaplansky – Caténarité et caténarité universelle : en dimension 1 ; des anneaux de Prüfer – Conditions de chaînes dans les anneaux de séries formelles : cas Noethérien – Dimension et caténarité de A[[X 1,…,X n]] – Exemples et contre exemples.

Références :

  1. N. Bourbaki, Algèbre Commutative, Chap. 1-10, Herman.
  2. J. W. Brewer, Power series rings over commutative rings, Marcel Dekker, INC, (1983).
  3. P. Jaffard, Théorie de la dimension dans les anneaux de polynômes, Gauthier-Villards, Paris, (1970).
  4. I. Kaplansky, Commutative rings, Univ. Chicago Press, 2 nd print, (1974).
  5. H. Matsumura, Commutative algebra, 2 nd Ed., Benjamin/Commins Pub. Comp., (1980).

N. MAHDOU